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大規模密度汎関数計算のための近似のない低次スケーリング対角法の開発


(北陸先端大融合院)尾崎泰助


 局所密度近似(LDA)や一般化勾配近似(GGA)に基づく密度汎関数計算はシステムサイズN が大きくなる従い、固有値問題の解法が最終的に計算の律速段階となる。 固有値問題の解法は占有軌道のみに着目したとしても計算量がO(N3)としてスケールするため、計算コストの観点から大規模系の取り扱いは容易ではない。 したがって大規模系への密度汎関数計算の適用限界を拡張するために非常に多くの対角化手法がこれまでに開発されている。 これらの対角化手法は(i) 共役勾配法やDavidson 法などの繰り返し計算に基づくものと、(ii) 近似を導入して計算量をO(N)に低減したオーダーN 法に大別される。 前者においては与えられたKohn-Sham ハミルトニアンに対して近似を導入することなしに、固有状態の計算を行うが、占有軌道間の直交条件を保持する計算に対してO(N3)の計算量が必要となる。 その中間に位置するO(N2~)法の開発はこれまであまり行われていないが、近似を導入することなしに計算オーダーが低減できるならば、O(N3)法に代わる手法として非常に興味の持たれる所である。


 今回、擬原子局在基底や有限要素法などの局在基底関数の場合に対して、近似を導入することなしに低い計算オーダーを持った新しい対角化手法を開発した [1]。 そのアイデアは留数積分 [2]によって直接、密度行列を計算するというものであり、収束に必要な留数の数が系のサイズに依存しないことを示すことができる。 主要な計算は疎行列の逆行列計算(グリーン関数の計算)となり、ここで計算オーダーが支配される。 我々は逆行列要素を計算するために、行列のnested dissection(ND)法とShur 補元を用いて漸化式を導出し、これを用いて必要な逆行列要素を求める新しい計算手法を開発した。 この漸化式に基づく逆行列計算法の計算オーダーは3次元系でO(N7/3)、2次元系でO(N2)、1次元系でO(N(log2N)2)であり、近似を導入することなしに計算オーダーを低減することが可能となった(図1参照)。


 本手法で用いられている留数積分は100極程度で倍精度限界まで収束する手法であり、例え有限数の極を用いたとしても本手法は数値厳密な手法である。 数値厳密であることを実証するために、有限数の極(80極)でDNAのSCF計算を行ったものが図2である。 従来法と比較し、収束特性は同一であり、得られた全エネルギー値は13桁一致している。 また各極に対する計算は独立に実行できるため本手法は並列計算に適した手法である。 OpenMPとMPIを用いてハイブリッド並列化し、速度向上率を測定した結果を図3に示す。 160プロセス、4スレッドを用いた速度向上率はおよそ350倍であり、通常の対角化法と比較し、大幅な並列効率の向上が達成されている。


図1 逆行列の計算時間 / 図2 DNA分子のSCF計算

図3 


【参考文献】
[1] T. Ozaki, Phys. Rev. B 82, 075131 (2010).
[2] T. Ozaki, Phys. Rev. B 75, 035123 (2007).
[3] http://www.openmx-square.org



*出典:ナノ統合第5回公開シンポジウム要旨集より。
 掲載に際しては尾崎泰助准教授のご了承を得ています。



北陸先端科学技術大学院大学・先端融合領域研究院へのリンク:
http://www.jaist.ac.jp/rcis/

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